理解物理学最重要的数学公式泰勒公式，在数学中看到物理的本质

数学是物理学家用来描写天然纪律的语言。假如你想懂得物理学，就必需进修年夜量的数学。假如要遴选一个最紧张的、用来懂得物理学的公式，那便是泰勒公式（Taylor's formula）。

让我们从数学开端，懂得这个公式的统统。假设有某个函数f(x)，

它看起来真的很繁杂，但我们不测验考试一会儿懂得整个繁杂的函数，而是看它在一个更小区域内的环境，如许就简单多了。

选择x=0为原点，以是x=0处的函数高度是f（0）。

想象这条曲线是一座危险山脉的外形，而你是一个探险家，在订定它的舆图。因为年夜雾覆盖，你无法看得很远。你只能当心地沿着山走，并使用一个高度计来丈量你离地面的高度，以此记载它的外形。从这一点x=0开端，你的肇端高度是f（0）。就你所知，整座山可能只是在这个高度的一个平展的程度线。然后，当你测验考试再写下一个描写山的高度的函数时，你的第一个预测便是f(x) = f（0）。

但当你轻微向右走了一下，你发现山的高度已经变化了。以是，它现实上并非一条程度线。就今朝你所能看到的，它看起来像一条倾斜的线，斜率由f在x即是0处的一阶导数给出。

如今，你对高度函数的新的最佳预测是这条倾斜线的方程：

如今，你再向右走一下，你发现曲线不是一条直线。相反，它开端像抛物线一样偏离直线。

以是如今你预计，函数有一个更好的近似，带有x的平方项

你可能发现，经由过程包括x的更多幂——x的3次幂、4次幂等等，可能能获得一个关于函数的更好描写。

如今，你想将函数f表现为x的幂的和，有系数c0、c1、c2等等。问题是若何选择这些数字，使得这个级数与f相匹配得很好。我们已经看到前几个系数是什么了，现代入x=0，除了第一项其它所有项都消散，获得

是以，级数中的第一个数字是肇端点x=0处的函数值。至于c1，我们先取导数，获得

如今，当我们代入x=0，c1项保存下来

假如再次取导，获得

是以，现代入x=0，获得

如斯重复，对付乞降中的x的n次幂项，必要取n次导数，每次导数都带下一个幂——起首是n，然后是n-1、n-2，以此类推，一直到3、2、1。

以是第n个系数是

我们已经将函数f写为x的幂的和，

当x异常小时，每个x的更高次幂比之前的还要小得多，以是仅经由过程保存级数中的前几项就已经获得了一个很好的近似。跟着x离x=0越来越远，为了获得函数的一个好描写，必要在级数中参加更多的项。有了系数的一样平常公式，我们可以参加尽可能多的项。当n变年夜时，级数近似与曲线的匹配越来越好。

这长短常了不得的。这意味着假如我们知道在一个点上一个腻滑函数的所有导数，就可以重构出函数在其他处所的外形。下面是几个常见的泰勒函数睁开式，

通常在物理学中我们并不真的关怀整个泰勒级数，我们真正想要的是一个繁杂函数的好的近似，使问题更简单去办理。

物理学

第一个问题是，若何简化繁杂的物理方程。在经典力学中办理问题的根本步调是写下粒子上的所有力，然后把它们起来，写下

然后求解这个方程，找到粒子的地位作为光阴的函数。这提及来容易但做起来难，尤其是末了一步解方程，由于除了最简单的体系外，这个方程通常难以准确办理。

F=ma 是一个微分方程。微分方程比我们在中学和高中学到的代数方程要难解得多。一个简单的例子，便是单摆（Pendulum）,

在求摆的活动时，我们主要关怀的力是粒子轨迹的切线偏向的重力分量，即

此中θ 是摆与垂直轴形成的角度。那么F=ma 可以写成θ 关于光阴的二阶导数，

只管这个物理体系看起来很简单，但因为这个sinθ因子，这个方程已经变得异常繁杂，sinθ使它成为一个非线性微分方程，测验考试求解可能会异常辣手。另一方面，当θ 很小时，你可以想象一个单摆轻轻地往返摇晃，就像一个钟摆。那么当θ相对较小时我们是否可能简化这个方程呢。泰勒级数让我们能做到这一点，由于

对付很小的θ，可以近似为，

这个繁杂的F=ma 方程变得年夜为简化，由于让这个方程成为非线性微分方程的sinθ因子消散了。经由过程利用泰勒级数，我们可以或许线性化这个微分方程，使我们可以或许在单摆离均衡点不太远时更容易办理。

这便是一个简谐振荡器的方程，就像一个弹簧上的质量，一样平常解是正弦和余弦的和，

此中角频率为

是以，这个单摆确切会轻轻地往返摆动。以是，我们在任何物理问题中应该起首做的是用泰勒级数在一个稳固均衡点邻近睁开势能函数

在这里我选择我的坐标，使得均衡点在x=0处。第一个项U（0）只是一个常数，可有可无。你老是可以转变势能函数的基准面，并将这个常数打消。同时，第二个项也消散了，由于我们选择在势能的最小值点（U即是0的处所）进行睁开。是以，在均衡邻近的势能的泰勒睁开的第一个必要注意的项通常是二次项，这就像一个在弹簧上的质量的势能一样，

这便是体系在其均衡地位邻近往返振荡的缘故原由。至于力，它与势能经由过程

联系关系，是以，在均衡邻近粒子上的力的泰勒级数从

开端，这又正好像弹簧力−kx。分外是，力是线性的。以是，在稳固均衡点邻近睁开势能的技能，现实上便是线性化F=ma 方程。

第二个问题是，爱因斯坦的广义相对论的牛顿极限。在牛顿力学中，一个自由粒子的动能是

另一方面，假如我们代入动量p=mv，我们可以写出同样的表达式，即

这是一个具有动量p的非相对论自由粒子的能量。非相对论意味着粒子的速率与光速相比异常小。当粒子靠近光速时，会产生一些奇异而荒谬的工作，这在年夜约100多年前被爱因斯坦在他的广义相对论中发现。在广义相对论中，一个质量为m、动量为p的自由粒子的能量由这个新公式给出：

此中c 是光速。纵然你从未研讨过广义相对论，你之前也见过这个，由于假如粒子处于静止状况，即p 即是0，我们获得

这可能是物理学中最有名的方程。然则，当粒子在移动时，我们必要这个更一样平常的公式，包含来主动量的进献。这个公式纵然粒子的速率靠近光速也成立。另一方面，我们知道当p很小时，能量应该是什么。那么我们若何看到爱因斯坦的公式正确地再现了牛顿的慢活动粒子的公式呢。当然，设法主意是当p很小时，利用爱因斯坦能量公式的泰勒睁开。

起首，让我们提掏出mc^2，像如许写出整个表达式

如许就清晰地注解，我们如今要做的是计算下面这个函数的泰勒级数（当x很小时），

此中，x为

这种类型的泰勒级数在物理学中常常呈现，一样平常的情势为，

在这个例子中，q=1/2。这种类型函数的泰勒睁开式为，

回到相对论机能量，只需插入q=1/2和

获得

第一项是E=mc^2，这是相对论中的静止粒子的能量，它在牛顿力学中没有直接类比。但另一方面，这只是一个常数，你老是可以在牛顿力学中向总能量添加一个常数。至于第二项，我们看到泰勒级数若何准确地再现我们在牛顿力学中预期的动能。

泰勒级数中的下一项是，

这该若何懂得呢。重点是，牛顿力学是对那些远小于光速活动的粒子的一个很好的描写，但这只是一个近似。这一项是牛顿能量在与光速相比速率微小的环境下的首要相对论修正。而这个额外的项给出了牛顿成果的一个异常小的修正，我们可以在不失太多精确性的环境下疏忽它。然则，当速率变年夜时，这个修正变得越来越紧张。我们可以在氢原子的联合能中看到这个修正的影响。这是用来将电子从它的“轨道”中踢出去的能量。

下面，我向你们展现若何只经由过程利用量纲阐发就可以获得联合能谜底的90%。起首，列出可以使用的参数及其单元，并看看若何将它们组合起来获得我们想要的单元。在这种环境下，我们看到我们可以将电子质量、其电荷、库仑常数和普朗克常数组合起来获得能量单元，

如许一来，氢原子的联合能就必需与此成比例，

只是像如许斟酌单元就让我们靠近谜底了。现实上，联合能的公式带有一个二分之一的系数，我们不克不及只经由过程斟酌量纲就能获得它，由于2没有任何单元。这是波尔的氢联合能的公式，

它是量子力学的第一个巨大成绩之一。它的数值约为13.6电子伏特，与联合能的试验值异常靠近。然而，波尔的公式只是一个近似，它疏忽了因为广义相对论发生的可试验察看到的效应。

但量纲阐发的问题出在了哪里。问题在于，在写下联合能的非相对论近似时，我们省略了光速c。是以，假如想要包含广义相对论的效应，必要斟酌c是若何进入能量公式的。然则，当我们把c 添加到参数列表中时，会产生一些不凡的工作，获得一个无量纲的组合，

这个组合被称为精细布局常数（Fine structure constant）。假如代入数字，会发现α 约即是0.0073，或约即是1除以137。因为α 是无单元的，量纲阐发不会奉告我们它在能量公式中是若何呈现的。

这是若何容许相对论对波尔公式进行小的修正的。然则，我们可以经由过程斟酌相对论修正得到一个更好的理论猜测，那便是我们经由过程将泰勒级数利用于爱因斯坦的公式所得出的谁人首要的相对论修正。我们可以肯定相对论给波尔公式做出的最小的修正。细节必要量子力学，以是在这里不会深刻讨论。

第三个问题是，泰勒公式与量子力学中动量界说的关系。在经典力学中，主要问题是求解作为光阴函数的粒子轨迹x(t)。另一方面，在量子力学中，目的是找到波函数

以及它若何随光阴蜕变。在进行丈量时，波函数或者它的平方越年夜，你就越有可能在谁人地位找到粒子。我们丈量粒子的那些量物，好比它的地位和动量，由作用在波函数上的算符表现。丈量地位的算符写为

丈量动量的算符写为

动量算符与空间平移亲密相关，以是让我们界说一个算符，

它将波函数移动ε，

抛开物理，这看起来很认识，ψ(x) 只是一个函数，这个公式奉告我们我们在探求一个将ψ(x) 移到ψ(x−ϵ) 的算符，那恰是泰勒公式的作用。是以，我们辨认移位算符

因为我们如今不会深刻探究的缘故原由，这个移位算符与动量算符经由过程

联系关系，对照双方，泰勒公式奉告我们我们应该将量子力学中的动量算符辨认为

当你开端进修量子力学时，这将是你将进修的第一个公式之一。它直接来自泰勒公式。

这只是泰勒公式呈现的物理利用的一小部门，你会在每个处所都看到泰勒公式。